Matematica Vol 4 1° EM

GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 1a série – Volume 4
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1
RAMPAS, CORDAS, PARSECS – RAZÕES PARA ESTUDAR TRIÂNGULOS RETÂNGULOS
VOCÊ APRENDEU? Página 3
1. Adotando-se a escala 1:1 000, ou seja, 1 cm : 10 m, deve-se desenhar um triângulo retângulo de catetos 4 cm e 10 cm, como ilustrado a seguir: 2. Notamos na figura que . + . = 90º; logo, . = 6º. Consultando uma tabela de tangentes, ou usando uma calculadora, encontramos: tg 6º . 0,105, ou seja, a inclinação da rampa é 0,105, ou, ainda, 10,5%. Isso significa que, a cada 100 m que percorremos horizontalmente, nossa elevação vertical é de cerca de 10,5 m. Em outras palavras, a cada metro percorrido horizontalmente, subimos cerca de 10,5 cm. 3. Se a inclinação da rampa é de 10%, então, aos 80 m horizontais correspondem 8 m, ou seja, 800 cm de subida, na vertical. Se cada degrau deve ter no máximo 16 cm de 800
altura, devemos ter no mínimo = 50 degraus.
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4. As cordas de comprimentos c1 e c2 são diâmetros da circunferência dada; temos, então: c1 = 2 m e c2 = 2 m. a) As cordas de comprimentos c3, c4, c5 e c6 são lados de triângulos equiláteros em que um dos lados é igual ao raio; logo, c3 = c4 = c5 = c6 = 1 m; para calcular o comprimento c7, lembrando que todo ângulo inscrito em uma semicircunferência mede 90º, podemos usar o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo de lados c1, c6 e c7: (c1)2 = (c6)2 + (c7)2, de onde obtemos c7 = 3 m ˜ 1,73 m. A figura seguinte pode ajudar a lembrar o fato de que o triângulo citado é retângulo. Observação: C1 é o diâmetro da circunferência e, portanto, igual a 2m. Note que o conjunto dos pontos de onde se vê uma corda dada em umacircunferência qualquer sob um ângulo de 90º forma uma semicircunferência que tem a referida corda como diâmetro.

b) Como o raio da circunferência é igual a 1, o valor da razão entre a semicorda e o raio é igual ao comprimento de cada semicorda. Temos, portanto, a tabela a seguir:
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c) Se o raio da circunferência é igual a 5 m, então, a corda é proporcionalmente maior do que a correspondente ao raio de 1 m, vista a partir do mesmo ângulo central, que é 60º. A figura a seguir pode ajudar a compreender o que se afirma:
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Logo, se a corda correspondente ao ângulo central de 60º é igual a 1 m (o valor do raio) na circunferência de raio 1, então a corda correspondente ao mesmo ângulo na circunferência de raio 5 m é igual a 5 m (cinco vezes maior). d) Analogamente, se a corda tiver comprimento 100 m, sendo o ângulo central 60º,
então teremos a proporção: c3 . 1.
100 R100 100
Logo, R ... 100 m .
c3 1,0
Lembrando que sen 30º = 0,5, também poderíamos escrever:
C3
sen 30º = 0,5 = 2 .50 . 1 R50
Daí seguiria, naturalmente, que R . 0,5 . 100 m
e) Se a corda tiver 100 m, sendo o ângulo central igual a 6º, procedendo de modo análogo ao que foi feito acima, teremos: 50
sen 3º = .
R
50
Logo, R . sen3o
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Determinando o valor do seno de 3º em uma tabela de senos, ou em uma calculadora, obtemos o valor aproximado 0,052. Concluímos, então, que R ˜ 962 m.
LIÇÃO DE CASA Página 8
1. “a” até “d”: As igualdades são consequência imediata da definição do cosseno, da cossecante e da cotangente como sendo, respectivamente, o seno, a secante e a tangente do ângulo complementar. “e” até “f”: Como a secante é a razão hipotenusa/cateto adjacente, logo, sec . = 1/cos .; e, analogamente, cossec . = 1/sen . a
“g” até “h”: A observação direta mostra-nos que sen .. c . a . tg . .
cos . bb c
o
Analogamente, cotg . = tg (90 ..) . sen (90 oo ..) . cos. .
cos(90 ..) sen.
“i”: Utilizando o teorema de Pitágoras no triângulo de catetos a e b e de hipotenusa c, obtemos: c2 = a2 + b2. Dividindo os dois membros da igualdade por c2, obtemos:
1 . .. a .. 2 ... b .. 2 ou seja, 1 = sen2 . + cos2 .. . b .. c .
“j”: Efetuando as operações indicadas no primeiro membro, temos:
1. tg 2 .. 1.... ab ... 2 . b2 b . 2 a2 . bc22 . sec2 .
“k”: Analogamente ao que foi feito em “j”, 1 + cotg2 . =
cossec2..1.... ba ... 2 . a2 a . 2 b2 . ac22 . cossec2 a.
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VOCÊ APRENDEU? Página 12
5. a) Pela definição de parsec, quanto menor o ângulo de paralaxe, maior a distância entre o Sol e a estrela. Logo, se a distância entre o Sol e a estrela é de 10 parsec, o ângulo de paralaxe é bem menor do que 1” (no caso, o ângulo será cerca de 10 vezes menor, ou seja, 0,1”). b) Temos: tg 1” = 0,000004848 = 1UA/1parsec. Logo, 1 parsec/1 UA = 206 270, ou seja, 1 parsec = 206 270 UA. c) Calculando a distância d percorrida pela luz em um ano, obtemos, aproximadamente: d = 365 . 24 . 60 . 60 . 300 000 = 9,46. 1012 km Logo, sendo o parsec igual a 3,09. 1013, concluímos que 1 parsec ˜ 3,26 anos-luz. 6. 1UA a) Temos: tg 0,5” = 0,000002424 = 1 SE .
Logo, SE = 1/0,000002424 = 412 541 UA.b) Notamos que, como o ângulo de paralaxe é muito pequeno, a tangente e o seno têm aproximadamente o mesmo valor, ou seja, o cateto SE e a hipotenusa TE são aproximadamente iguais. De fato, se fôssemos calcular o valor de TE, obteríamos:

TE2 = SE2 + ST2 TE = 4125412 .1 ˜ 412 541 UA.
Notamos que tal distância corresponde a cerca de 2 parsec.
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SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2
DOS TRIÂNGULOS À CIRCUNFERÊNCIA – VAMOS DAR UMA VOLTA ?

VOCÊ APRENDEU? Página 14
1. 2. Os ângulos indicados são: . = 60º . = 120º . = 240º . = 300º Como sen 30º = 2 1 e sen2 30º + cos2 30º = 1, cos 30º = 2 3 Logo: sen 60º = cos 30º = 2 3 sen 120º = sen 60º = 2 3 sen 240º = - sen 60º = . 2 3
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sen 300o = - sen 60o = . 3 2
LIÇÃO DE CASA Página 15
1. Basta lembrar que: tg . = sen ./cos . cotg . = cos ./sen . sec . = 1/cos . cossec . = 1/sen . Naturalmente, nos pontos em que os denominadores são nulos, a razão correspondente não existe. VOCÊ APRENDEU? Página 16
3. Vamos mostrar que o segmento TB representa a tangente de . e que o segmento OB representa a secante de .. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 1a série – Volume 4
OP PAOA
De fato, da semelhança dos triângulos OPA e OTB, resulta: ..
OT TBOB
Como OA = OT = 1, OP = cos . e PA = sen ., cos. sen. 1
Segue que: ..
1 TB OB Logo, sen. 1
a) TB .. tg . OB .. sec.
cos. cos.
1. Em consequência do resultado acima, aplicando-se o teorema de Pitágoras aos triângulos OPA e OTB, obtemos: cos2 .+ sen2 .= 1 1 + tg2.= sec2 . 2. Lembrando que cotg . = tg (90º – .) e cossec . = sec (90º – .), podemos representar, analogamente ao que foi feito anteriormente, a secante e a cossecante numa figura similar, traçando-se a reta tangente ao ponto (0; 1), como mostra a figura a seguir. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 1a série – Volume 4
4. Comparando os segmentos orientados que representam o seno e o cosseno dos ângulos citados, podemos concluir que: a) sen 120o = cos 30º = 32
cos 120o = – sen 30o = –1/2
Um procedimento análogo, nos itens seguintes, conduziria às respostas abaixo. Busque também fazer uma figura representando cada item.
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b) sen 150º = sen 30º = 2 1 cos 150o = – cos 30o = . 2 3 c) sen 210º = – sen 30º = – 2 1 cos 210º = – cos 30º = .2 3 d) sen 240o = – cos 30o = . 2 3 cos 240º = – sen 30º = – 2 1 e) sen 300º = – cos 30º = . 2 3 cos 300º = sen 30º = 2 1
1 3
f) sen 330º = – sen 30º = – cos 330º = cos 30º =
2 2
LIÇÃO DE CASA Página 17
2. a) Se o ponto P percorreu um arco correspondente ao ângulo central de 360º, então, ele percorreu a circunferência inteira, cujo comprimento é 2. metros. Logo, s = 2. metros. Sendo . = 360º, já vimos que sen 360º = 0. b) Se o ponto P percorreu um arco correspondente a 180º, então ele percorreu 180/360, ou seja, a metade da circunferência, o que equivale a . metros.
Sendo . = 180º, já vimos que sen 180º = 0. c) Se o ponto P percorreu um arco correspondente a 90º, então ele percorreu 90/360, ou seja, um quarto da circunferência, o que equivale a ./2 metros. Sendo . = 90º, já vimos que sen 90º = 1. d) Se o ponto P percorreu um arco correspondente a 45º, então ele percorreu 45/360, ou seja, um oitavo da circunferência, o que equivale a ./4 metros. Sendo
. = 45º, já vimos que sen 45º = 2 . 2
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e) Se o ponto P percorreu um arco correspondente a 30º, então ele percorreu 30/360, ou seja, 1/12 da circunferência, o que equivale a ./6 metros. Sendo . = 30º, 1
já vimos que sen 30º = .
2 Podemos generalizar os resultados da atividade 5 da seguinte maneira: Em uma circunferência de raio 1, os arcos correspondentes a 360º, 180º, 90º, 45º e 22,5º têm comprimentos iguais a, respectivamente, 2., ., ./2, ./4 e ./8 medidos na mesma unidade do raio. De modo geral, existe uma proporcionalidade direta entre a medida do arco e a medida do ângulo central correspondente: se o ângulo central dobrar, o comprimento do arco também dobrará, e assim por diante. Desse fato decorre que, sendo o ângulo central ., medido em graus, correspondente a
s 2. R .
um arco de comprimento s, vale a proporção, . , ou seja, s . .2. R .
. 360 360
VOCÊ APRENDEU? Página 19
5. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 1a série – Volume 4
As relações entre ., s e c decorrem das seguintes expressões, já conhecidas:
sen .. 2 c . c , ou seja, c . 2R.sen .
2
2 R 2Rs 2. R .
. , ou seja, s ..2. R
. 360 360
Para . = 180º, temos: 1
c = 2R. sen 90o = 2R e s ..2. R = . R.
2 1
Para . = 120º, temos: c = 2R. sen 60o = R 3 e s = . 2.R = 2.R /3.
3 1
Para . = 90º, temos: c = 2R . sen 45o = R 2 e s = . 2.R = .R/2.
4 1
Para . = 60º, temos: c = 2R. sen 30o = R e s = . 2.R = .R/3.
6 1
Para . = 30º, temos: c = 2R. sen 15o e s = . 2.R = .R/6 (consultando uma tabela
12 de senos, ou usando uma calculadora, obtemos: c ˜ 0,52R). 1
Para . = 10º, temos: c = 2R. sen 5o e s = . 2.R ..R/18 (consultando uma
36
tabela de senos ou usando uma calculadora, obtemos: c . 0,17R).
Para . = 0º, temos: c = 2R. sen 0o = 0 e s = 0.
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Para cada um dos valores de ., é interessante sugerir aos alunos que façam uma figura e observem as relações geométricas entre as cordas e os arcos, imaginando os possíveis polígonos regulares cujos lados correspondem às cordas calculadas, quando for o caso.
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SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3
POLÍGONOS E CIRCUNFERÊNCIAS – REGULARIDADES NA INSCRIÇÃO E NA CIRCUNSCRIÇÃO

VOCÊ APRENDEU? Página 22
1. Complete a tabela abaixo, indicando o ângulo central correspondente ao lado e o ângulo interno de cada um dos polígonos regulares indicados. Basta substituir o valor de n pelo correspondente ao número de lados de cada polígono nas expressões anteriormente obtidas:
. = 360o .i = 180º – 360o n n
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(Os valores obtidos que não forem inteiros podem significar alguma dificuldade na construção efetiva dos polígonos, mas não em sua concepção.)
2. Um quilógono regular seria confundido com uma circunferência devido ao grande número de lados (1 000 lados). Note pela tabela que o ângulo central será muito próximo de zero, e o ângulo interno muito próximo de 180º. LIÇÃO DE CASA Página 23
1. a) Como a soma do ângulo interno com o ângulo externo deve ser igual a 180º, para que os dois sejam iguais é preciso que ambos sejam iguais a 90º. O polígono regular, nesse caso, é um quadrado. b) Para que o ângulo interno seja igual ao dobro do ângulo externo, devemos ter 360 360
180 .. 2. , de onde resulta que n = 6. O polígono é um hexágono regular.
nn
c) Se o ângulo é igual ao ângulo interno, temos: 360 360
. 180 . , de onde resulta que n = 4. O polígono procurado é um quadrado.
nn
VOCÊ APRENDEU? Página 26
3. a) Para n = 3, o ângulo central . é igual a 360/n, ou seja, . = 120º. Temos, então: L3i = 2. sen 60o = 3 . 1,732 e L3c = 2.tg 60o = 2 3 . 3,464. Para n = 6, o ângulo central . é igual a 60º. Temos, então: L6i = 2. sen 30o = 1 e L6c = 2.tg 30o = 2 3/3 . 1,155. Para n = 12, . = 30o e temos: L12i = 2. sen 15o . 0,518 e L12c = 2. tg 15o . 0,536. Para n = 24, . = 15o e temos:
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L24i = 2. sen 7,5o . 0,261 e L24c = 2 .tg 7,5o = 0,263. b) Analogamente, calculando os lados dos polígonos inscrito e circunscrito para os valores indicados de n, temos: L4i . 1,414 e L4c = 2; L8i . 0,765 e L8c . 0,828; L16i . 0,390 e L16c . 0,398; L32i . 0,196 e L32c . 0,197.
É interessante o professor, a partir dos valores calculados, comentar e interpretar geometricamente os seguintes fatos: Quanto mais aumenta o valor de n, mais o comprimento do lado diminui.
Quanto mais aumenta o valor de n, menor se torna a diferença entre os valores de Li e de Lc.
Se multiplicarmos os valores de Li por n, o produto n . Li aproxima-se cada vez mais de 2. (˜ 6,282), que é o comprimento da circunferência de raio 1 na qual os polígonos estão sendo inscritos.
(para L16i ˜ 0,390, temos 16.L16i . 6,24; para L32i . 0,196, temos 32.L32i = 6,272)
O mesmo ocorre se multiplicarmos os valores dos lados dos polígonos circunscritos pelo número de lados.
4. O lado do polígono inscrito na circunferência é igual a L36i = 2R . sen (./2), sendo R = 5 cm e o ângulo central . igual a 360/36 = 10º. Calculando, obtemos: L36i = 2 . 5 . sen 5º . 0,872. O perímetro do polígono será igual a: p36 = 36 . L36i . 31,392 cm. O comprimento da circunferência é C = 2.R . 31,416. A diferença porcentual pedida é igual a 31,416 . 31,392 . 0,000764 . 0,076%
31,416
5. Para calcular a área do polígono circunscrito, basta calcular a área de um dos 36 pequenos triângulos em que ele se divide e multiplicar esse resultado por 36. A área de um desses triângulos é a metade do produto da base L36c pela altura, que é igual ao raio (1dm). Logo, tal área vale (L36c . 1)/2. Em consequência, a área do polígono circunscrito é igual a: GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 1a série – Volume 4
A36c= 36. (L36c . 1)/2 = 18 . L36c.Calculando o lado do polígono, obtemos: L36c = 2. tg 5º . 0,175 dm. Logo, a área será igual a: A36c . 18 . 0,175 = 3,150 dm2. A área do círculo de raio R = 1 dm é igual a A = .. 12 . 3,1416 dm2.
3,150 . 3,141
A diferença porcentual pedida é 3,141 . 0,003, ou seja, 0,3%.
Para calcular a área do polígono regular inscrito, é necessário calcular a altura de cada um dos triângulos em que ele se divide, que é chamada de apótema (ap) do polígono. O apótema pode ser obtido usando-se o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo que tem como catetos a metade do lado do triângulo e o apótema, e como hipotenusa o raio R da circunferência: ap2 + (Li/2)2 = R2. Algumas atividades explorando tal fato seriam interessantes.
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SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4A HORA E A VEZ DOS TRIÂNGULOS NÃO RETÂNGULOS

VOCÊ APRENDEU? Página 30
1. Para mostrar tal fato, basta traçar um diâmetro que passa pelo vértice do ângulo inscrito e notar as relações entre os ângulos indicados: x + y = .2x + z = 180º2y + w = 180º. Logo, 2x + 2y + (z + w) = 360, ou seja, 2. + (z + w) = 360. Como sabemos que . + (z + w) = 360 (ver figura),
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.
podemos concluir que 2. = ., ou seja, .. , como queríamos mostrar.
2 Essa relação pode ser aqui explorada, enunciando-se tal resultado de diferentes modos, como, por exemplo: Todos os ângulos inscritos em um arco de circunferência, que subentendem a mesma corda (ver Figura 1) têm a mesma medida, que é a metade do ângulo central correspondente. Todo ângulo inscrito em uma semicircunferência tem medida 90º (ver Figura 2.)
2. Traçando-se o diâmetro BP = d, notamos que o triângulo BCP é retângulo em C e que o ângulo BPC é igual a ., uma vez que é um ângulo inscrito no arco CAPB, que tem o lado a como corda. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 1a série – Volume 4
No triângulo retângulo BCP, temos:
sen..da onde d é o diâmetro da circunferência circunscrita ao triângulo. Notamos,
a
então, que sen. = d, ou seja, a razão entre o lado a e o seno do ângulo oposto
correspondente é igual ao diâmetro d da circunferência. De modo inteiramente
bc
análogo, concluiríamos que sen ..sen. = d, ou seja, as três razões lado/seno do
ângulo oposto são iguais, o que significa que lados e senos são proporcionais. Esse é
o significado da Lei dos Senos. 3. a) O triângulo de lados 5 m, 6 m e 10 m não é retângulo, pois o maior lado ao quadrado não é igual à soma dos outros dois: 102 > 62 + 52. b) Se dobrarmos as medidas dos três lados, o novo triângulo será semelhante ao inicial. Terá, portanto, os mesmos ângulos que ele. c) Não é possível construir um triângulo com lados 5 m, 3 m e 10 m, pois a soma de dois dos lados (3 m e 5 m) é menor que o terceiro lado (10 m), como mostra a figura abaixo. Para ser possível a construção de um triângulo com lados a, b e c, é necessário que cada um dos lados seja menor do que a soma dos outros dois. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 1a série – Volume 4
d) Os lados de um triângulo são diretamente proporcionais aos senos dos ângulos opostos, ou seja: 5 610
.. .
sen. sen . sen. sen. 51
Portanto, a razão sen. é igual a 10, ou seja, é igual a 2.
LIÇÃO DE CASA Página 32
1. Qualquer que seja a posição do ângulo a, seu seno, calculado no triângulo retângulo 1que tem a hipotenusa como diâmetro, é igual a . Logo a = 30o.
2
VOCÊ APRENDEU? Página 33
4. a) O triângulo não é retângulo, uma vez que o maior dos lados não é igual à soma dos quadrados dos outros dois. Como 42 > 22 + 32, o triângulo tem um ângulo obtuso oposto ao lado 4. b) Para calcular o cosseno do ângulo ., podemos escrever: c2 = a2 + b2 – 2ab . cos . 1
Logo, 16 = 4 + 9 – 2 . 2 . 3 . cos ., ou seja, cos . = – .
4
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(Notamos que cos . <> 90o) Para calcular o seno dos outros dois ângulos, podemos escolher um dos seguintes caminhos: c) Calculamos o cosseno de cada um deles, do mesmo modo que calculamos o cosseno de ., e, a partir daí, calculamos o seno por meio da relação fundamental sen2 . + cos2 . = 1. Alternativamente, podemos calcular o seno de . por meio da relação sen2 .+ cos2 . = 1 e, a partir daí, usar a Lei dos Senos. Optando por esse segundo caminho, temos:
sen2 .+ (– 14 )2 = 1, ou seja, sen . = 154 .
(lembrar que . tem seno positivo por ser um ângulo menor do que 180o) Como temos, pela Lei dos Senos, a proporção a seguir:
sen. sen. sen .
..
423
concluímos que sen . = 15 e sen . = 3 15 . 8 16
5. Considerando o triângulo formado por F2, R e o segmento paralelo a F1, e sendo ., o ângulo formado pelos lados F2 e F1, usando a Lei dos Cossenos, temos: R2 = F22 + F12 – 2F1. F2. cos . Como os ângulos . e . são suplementares, isto é, a soma dos dois é igual a 180o, cos . = – cos .. Em consequência: R2 = F22 + F12 + 2F1. F2. cos . É importante destacar aqui que o ângulo . considerado pelos professores de Física em geral é o ângulo entre as duas forças, e não o ângulo entre os dois lados do
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triângulo em que se utiliza a Lei dos Cossenos. Como esses ângulos, entre as duas forças e entre os dois lados do triângulo, são suplementares, os cossenos são simétricos. Em razão disso, os sinais aparecem trocados no termo em que aparece o cosseno na lei e na fórmula da resultante, usada pelos professores de Física.
LIÇÃO DE CASA Página 34
2. Temos: R2 = 1002 + 1002 + 2 . 100 . 100 . cos . Substituindo os valores de ., em cada um dos itens, obtemos: a) R2 = 20 000 + 20 000 . cos 0o = 40 000. Logo, R = 200. b) R2 = 20 000 + 20 000 . cos 30o = 20 000 + 10 000 3 ˜ 37 321. Logo, R . 193,2. c) R2 = 20 000 + 20 000 . cos 45o = 20 000 + 10 000 2 ˜ 34 142. Logo, R . 184,8. d) R2 = 20 000 + 20 000 . cos 60o = 20 000 + 10 000 = 30 000. Logo, R . 173,2. e) R2 = 20 000 + 20 000 . cos 90o = 20 000 + 0. Logo, R . 141,4.
f) R2 = 20 000 + 20 000 . cos 120o = 20 000 + 20 000.( –1) =10 000.
2
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Logo, R = 100. g) R2 = 20 000 + 20 000 . cos 150o = 20 000 + 20 000.( – 3/2) ˜ 2 679. Logo, R ˜ 51,8. h) R2 = 20 000 + 20 000 . cos 180o = 20 000 + 20 000.(–1) = 0. Logo, R = 0. É interessante fazer uma figura para cada um dos valores de ., representando a resultante pela Regra do Paralelogramo e interpretando os resultados: quando o ângulo . mede 180º, por exemplo, as forças são diretamente opostas, e a resultante, naturalmente, é igual a 0.