Matemática Vol 3

GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 3a série – Volume 3
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1
GRANDEZAS, INTERDEPENDÊNCIA: UM PANORAMA SOBRE FUNÇÕES

VOCÊ APRENDEU? Página 4
1. (I) O comprimento C de uma circunferência é uma função de seu raio x: C = 2.x. (III) (II) A área A de um quadrado é uma função de seu lado x: A = x2 . (V) (III) A massa m de uma substância radioativa diminui com o tempo, ou seja, é uma função do tempo de decomposição t: m = f(t). Para certa substância, tem-se m = mo2-0,1t, onde mo é a massa inicial e t o tempo de decomposição em horas. (II) (IV) Uma pequena bola é presa a uma mola perfeitamente elástica; afastada da posição O de equilíbrio, de uma distância a, a bola (I)
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oscila em torno da mola, deslocando-se em uma superfície lisa, horizontal; a distância xda bola até o ponto O depende do instante t considerado, ou seja, é uma função de t: x = f(t). No caso, temos x = a.cos(kt), onde k é uma constante que depende da elasticidade da mola e da massa da bola. (V) Mantendo-se constante a temperatura, a
(IV) pressão P de um gás no interior de um recipiente de volume variável V é uma função de V: P = f(V). No caso, temos k
P = , onde k é uma constante.
v
2. Escolhendo o sistema de coordenadas XOY indicado na figura, a parábola será o gráfico da função f(x) = ax2 + c, com a < 0. Como as hastes são igualmente espaçadas, os comprimentos das hastes serão os valores de f(x) para x1 = 5, x2 = 10 e x3 = 15. Como a flecha do arco de parábola é f = 5, segue que c = 5 e f(x) = ax2 + 5. Como o ponto B tem abscissa x = 20 e ordenada y = 0, segue que: f(20) = 0 e, então, 0 = a . 202 + 5, ou seja,
a = – 1 . Logo, f(x) = – 1 x2 . 5 e os valores procurados são:
80 8075
y1 . f(x1) . f(5) .. 4,69m ;
16
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15
y . f(x ) . f(10) .. 3,75 m ;
22
475
y . f(x ) . f(15) .. 2,19 m .
33
16
3. Um retângulo de perímetro de 24 m pode ser bem “magrinho”, tendo área muito pequena. Chamando de x e y os lados de um retângulo, seu perímetro será p = 2x + 2y e sua área será A = xy. Como devemos ter p = 24, a cada valor de x escolhido corresponderá um valor para y, ou seja, y é uma função de x. No caso, temos y = 12 – x. A área do retângulo é uma função de x e y, mas, como y = 12 – x, segue que a área A é uma função de x: A = f(x) = x . (12 – x) = 12x – x2. Essa função é um trinômio de 2o grau que se anula para x1 = 0 e para x2 = 12. Seu gráfico é uma parábola com a concavidade voltada para baixo, ou seja, a função área apresenta um valor máximo no ponto de coordenadas (u; v), sendo u = (x1 .x2) e v = f(u). Logo, u = 6 e Amáx = f(6) =
2 = 36. O retângulo de perímetro de 24 m e área máxima é, pois, o quadrado de lado 6 m; a área máxima é igual a 36 m2.
4. a) A população N é uma função do tempo t, contado a partir da fundação: N = f(t)= 3 000 . 100,1t. O gráfico de f(t), neste caso, é o de uma função exponencial crescente, cujo valor inicial (para t = 0) é 3 000.
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b) O valor de N para t = 15 é N = f(15) = 3 000.100,1.15 = 3 000.10 23 . 94 868
habitantes. c) O valor de N será 216 000 para um valor de t tal que f(t) = 216 000, ou seja, 3 000 . 100,1t.= 216 000. Logo, 100,1t = 72 e 0,1t = log 72. Consultando uma tabela de logaritmos ou usando uma calculadora, obtemos log 72 = 1,86, seguindo daí que o valor de t pedido: t . 18,6 anos.
5. a) A função m = f(t) = 60 . 2-0,25t é uma exponencial decrescente, a partir do valor inicial 60. b) O valor de f(t) para t = 8 é: m = f(8) = 60 . 2-0,25 . 8 = 15 g. c) Expressando t em termos de m, ou seja, escrevendo t como uma função de m, obtemos sucessivamente:
60.2-0,25t . m 2-0,25t . m –0,25t . log2 ( m ) t = –4.log2( m ).60 6060 d) Para saber após quanto tempo a massa m será igual a 12 g, podemos usar a expressão de m em função de t ou a expressão de t em função de m obtida no item c:
12 1
t . -4.log2 ( ) . -4.log2 ( ) . 4.log2 5.
60 5 Usando uma calculadora, obtemos o valor log25 . 2,32; segue que t . 9,28 h.
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6. a) Sabemos que para t = 0, x = 10 e que para t = 4, temos x = 10 (primeiro retorno à posição inicial), resulta, então: 10 = 10.cos(k.4). Logo, cos(4k) = 1, o que implica: .
4k . 2. ou seja, k . .
2 Note que, para t = 8, também temos 10cos(k.8) = 10, e cos(8k) = 1; também temos 8k = 4. (segundo retorno à posição inicial).
.. .
b) Sendo x . 10.cos . t . , calculemos os valores de x para os valores indicados
. 2 .de t:
.
t . 1 . x .10.cos . 0cm
2
.
t . 2 . x .10.cos ( . 2) . 10cos. ..10cm
2
.
t . 3 . x .10.cos ( .3) . 0cm
210 . 10 5. 1
t .. x .10.cos ( . ) . 10.cos( ) . 10.. 5cm
3 23 32
c) O gráfico da função x . f (t) . 10.cos ...t .. é mostrado a seguir:
. 2 .
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LIÇÃO DE CASA Página 9
1. Analogamente ao que foi feito no exemplo, temos: • as raízes da equação polinomial de grau 4 representada pela igualdade f(x) = 0 são x = 0, x = –1, x = 2 e x = 3; • sendo a equação de grau 4, ela terá no máximo 4 raízes reais, ou seja, o gráfico somente cortará o eixo x nos pontos correspondentes às 4 raízes mencionadas; • notamos, mesmo sem efetuar os cálculos, que o coeficiente do termo em x4 é positivo e igual a 1, ou seja, quando os valores de x crescem muito, os valores de f(x) são “dominados” pelos valores de x4, ou seja, tornam-se cada vez maiores; o mesmo ocorre quando x se torna muito pequeno (–1 000 000, por exemplo), uma vez que o maior expoente de x é par; • segue o esboço do gráfico de f(x): GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 3a série – Volume 3
Construindo efetivamente o gráfico usando um software, obtemos:
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SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS: UM OLHAR “FUNCIONAL”

VOCÊ APRENDEU? Página 14
1. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 3a série – Volume 3
2. 3. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 3a série – Volume 3
4. 5. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 3a série – Volume 3
6. 7. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 3a série – Volume 3
LIÇÃO DE CASA Página 18
1. 2. 1
Note que o valor de g(x) para x = 0 é igual a , ou seja, é o inverso do valor de f(x)
3
para x = 0, que é 3.
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SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3
AS TRÊS FORMAS BÁSICAS DE CRESCIMENTO OU DECRESCIMENTO: A VARIAÇÃO E A VARIAÇÃO DA VARIAÇÃO

Desafio!
Página 20
A forma padrão de crescimento ou decrescimento é: f(x) = ax + b.
a) No país A, os preços mantiveram-se constantes.
b) No país B, os preços variaram tendo como gráfico uma reta inclinada com inclinação positiva.
c) No país D, os preços cresceram tendo o gráfico encurvado para cima, o que significa taxas crescentes.
d) No país C, os preços decresceram tendo como gráfico uma reta com inclinação negativa.
e) No país F, os preços cresceram tendo o gráfico encurvado para baixo.
f) No país E, os preços decresceram tendo o gráfico encurvado para cima.
g) No país J, os preços inicialmente tiveram um gráfico retilíneo. Depois, seguiram uma curva voltada para baixo.
h) No país G, os preços decresceram tendo o gráfico encurvado para baixo.
i) No país H os preços inicialmente tiveram um gráfico voltado para cima. A partir de certo ponto, o gráfico encurvou-se para baixo.
j) No país I, os preços decresceram segundo um gráfico voltado para baixo. Depois, segundo um gráfico voltado para cima.
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VOCÊ APRENDEU? Página 26
1. O aluno aqui fará a correção do desafio proposto no inicio desta Situação de Aprendizagem. É importante que você, professor, esteja atento a qualquer dúvida que pode surgir. 2. a) Temos f(x) > 0 para x entre x2 e x7 e para x entre x10 e x12. b) Temos f(x) < 0 para x entre x1 e x2 e para x entre x7 e x10. c) A função f(x) é constante para valores de x entre x4 e x5 e para x entre x8 e x9. d) A função f(x) é crescente para x entre x1 e x4, e para x entre x9 e x12. e) A função f(x) é decrescente para x entre x5 e x8. f) A função f(x) cresce a taxa constante nos intervalos em que o gráfico é um segmento de reta ascendente, ou seja, para x entre x1 e x3 e para x entre x10 e x11. g) A função f(x) decresce a taxa constante no intervalo em que o gráfico é um segmento de reta descendente, ou seja, para x entre x6 e x7. h) A função f(x) cresce a taxas crescentes no intervalo em que é crescente e o gráfico é encurvado para cima, ou seja, para x entre x9 e x10. i) A função f(x) cresce a taxas decrescentes nos intervalos em que é crescente e o gráfico está encurvado para baixo, ou seja, para x entre x3 e x4 e para x entre x11 e x12. j) A função f(x) decresce a taxas crescentes no intervalo em que é decrescente e o gráfico é encurvado para baixo, ou seja, para x entre x5 e x6. k) A função f(x) decresce a taxas decrescentes no intervalo em que é decrescente e o gráfico é encurvado para cima, ou seja, para x entre x7 e x8. 3. (a), (b), (c) , (d) e (e). • O gráfico da velocidade v como função do tempo t é uma semirreta, com início no ponto (0; 40) e com inclinação negativa e igual a –10. Como v diminui 10 m/s a cada segundo, após 4 s a velocidade será igual a 0, ou seja, a semirreta corta o eixo x (ver figura a seguir). GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 3a série – Volume 3
• O gráfico da altura h em função do tempo t é um arco de parábola, iniciando no ponto (0; 45), com a concavidade para baixo. Seu ponto de máximo coincide com oinstante em que a velocidade é igual à 0, ou seja, ocorre para t = 4 s. A alturamáxima é o valor de h(t) para t = 4, ou seja, é h(4) = 125 m.• A pedra leva 4 s subindo até a altura máxima e igual tempo descendo até a posição de partida; logo, após 8 s estará de volta à posição inicial. • O instante em que ela toca o solo é o valor de t para h = 0, ou seja, é a raiz da equação 0 = 45 + 40t – 5t2; resolvendo, encontramos t = 9s. Todos esses resultados estão sintetizados nos seguintes gráficos: f) Observando os gráficos e especialmente as concavidades, concluímos que as três afirmações são verdadeiras.
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LIÇÃO DE CASA Página 30
1. Para construir o gráfico de f(x), sabemos que ele é uma parábola com a concavidade para cima, pois o coeficiente de x2 é positivo (igual a 1), e temos as raízes da equação f(x) = 0, que são x = –1 e x = 5. Sabemos ainda que o vértice da parábola se encontra no ponto médio do segmento determinado pelas raízes, ou seja, no ponto em que x = 2. Logo, temos:

Observando o gráfico, concluímos: a) f(x) > 0 para x > 5, ou então para x < –1; f(x) <> 2; f(x) é decrescente para x <> 2, f(x) cresce a taxas crescentes (concavidade para cima); para x < 2, f(x) decresce a taxas decrescentes (concavidade para cima).
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2. Basta notar a concavidade do gráfico em cada caso. Concluímos que: f(x) cresce a taxas crescentes; g(x) decresce a taxas decrescentes; h(x) cresce a taxas decrescentes;m(x) decresce a taxas decrescentes.
VOCÊ APRENDEU? Página 32
1. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 3a série – Volume 3
a) No intervalo considerado, temos:
..
f(x) é crescente para x entre 0 e e para x entre 3 e 2.;
22
..
f(x) é decrescente para x entre e 3 ;
22g(x) é crescente para x entre . e 2.; g(x) é decrescente para x entre 0 e ..
.
b) Notamos que o valor máximo de f(x) ocorre no ponto x = e o valor mínimo
2
.
ocorre no ponto x = 3 ; nesses pontos, temos g(x) = 0. Analogamente, o valor
2 máximo de g(x) ocorre nos pontos x = 0 e x = 2., e o valor mínimo, no ponto x = .; nesses pontos, temos f(x) = 0. c) Notamos que o gráfico de f(x) passa de voltado para baixo a voltado para cima no ponto x = ., em que g(x) assume o valor mínimo. Analogamente, o gráfico de
.
g(x) passa de voltado para baixo a voltado para cima no ponto x = , que é de
2
.
máximo para f(x), e volta a se tornar voltado para baixo no ponto x = 3 , que é de
2mínimo de f(x).
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SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4
OS FENÔMENOS NATURAIS E O CRESCIMENTO OU DECRESCIMENTO EXPONENCIAL: O NÚMERO e
VOCÊ APRENDEU? Página 36
1. Notamos que, quando x aumenta de 1 unidade, a partir de x = 0, então a variação em f(x) é igual, sucessivamente, a 2, 6, 18, 54, 162,..., ou seja, a taxa de variação unitária, que é igual a f(x+1) – f(x), é igual ao dobro do valor de f(x): f(1) – f(0) = 2f(0) = 2 f(2) – f(1) = 2f(1) = 6 f(3) – f(2) = 2f(2) = 18 f(4) – f(3) = 2f(3) = 54 f(5) – f(4) = 2f(4) = 162 e assim por diante. A taxa de variação unitária de f(x) = 3x é, portanto, igual a 2f(x). Chamando, como anteriormente, a taxa unitária de f1(x) e calculando seu valor para um x qualquer, temos, de fato: f1(x) = f(x + 1) – f(x) = 3x+1 – 3x = 3x . (3 – 1) = 2 . 3x.
2. a) f1(1) = f(2) – f(1) = 4 000 – 2 000 = 2 000; f1(2) = f(3) – f(2) = 8 000 – 4 000 = 4 000. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 3a série – Volume 3
b) O aumento citado é igual a f(7) – f(6) = 1 000 . (27 – 26) = 1 000 . 26. (2 – 1) = = 1 000 . 26 = f(6), ou seja, a taxa de variação unitária para t = 6 é igual ao valor de f(6).
LIÇÃO DE CASA Página 37
1. a) f1(2) = f(3) – f(2) = 600 . 103 - 600 . 102 = 540 000. b) O aumento pedido é igual a: f(8) – f(7) = 600 . (108 – 107) = 600 . 107. (10 – 1) = 600 . 107. 9 = 9 . f(7), ou seja, a taxa de variação unitária para t = 7 é igual a 9 vezes o valor de f(7). Leitura e Análise de Texto
Página 38
• Fenômenos naturais e crescimento exponencial – O nascimento do número e (e . 2,71828) VOCÊ APRENDEU? Página 44
1. a) Se os juros são simples, então o capital C1 ao final do ano será 12% maior, ou seja, C1 = 1,12 . 1 000 = R$ 1 120,00. b) Se os juros são distribuídos (1% ao mês) e incorporados ao capital mês a mês, temos: • ao final do 1ª mês: 12 C 1 = 1,01 . 1 000; • ao final do 2ª o mês: C 1 12 = (1,01)2 . 1 000;
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• analogamente, ao final do 12o mês: C1 = (1,01)12 . 1 000 , ou seja, C1 = 1,1268 . 1 000 = R$ 1 126,80. c) Se os juros são incorporados continuamente ao capital, temos: C = 1 000 . e0,12t. Ao final do primeiro ano, ou seja, para t = 1, temos C1 = 1 000. e0,12, ou seja, C1 = 1,1275 . 1000 = R$ 1 127,50. 2. a) Se os juros são incorporados ao capital apenas ao final de cada ano, temos: C(t) = Co . (1,12)t, com t em anos. Para termos C(t) = 2Co, devemos ter: 2 Co = Co (1,12)t. ln 2
Daí, segue que (1,12)t = 2 e, portanto, t . ln(1,12) = ln2, ou seja, t = ln (1,12) .
Consultando uma tabela ou usando uma calculadora, obtemos: t . 6,12 anos, ou seja,
o capital dobrará de valor somente após o sexto ano. Se os juros somente são incorporados ano a ano, somente poderá ser resgatado o capital após completar o sétimo ano.b) Se os juros são incorporados ao capital ao final de cada mês, temos: C(t) = Co (1,01)t, com t em meses. Para termos C(t) = 2Co, devemos ter: 2Co = Co . (1,01)t, ou seja, 2 = (1,01)t. Daí, segue que t . ln(1,01) = ln 2, de onde obtemos: t . 69,66 meses . 5,8 anos.Se os juros somente são incorporados mês a mês, o capital dobrado somente poderá serresgatado após 5 anos e 10 meses. c) Se os juros são incorporados continuamente ao capital, temos:C(t) = Co. e0,12t, com t em anos. Para termos C(t) = 2Co, devemos ter 2Co = Co. e0,12t. Daí, segue que 2 = e0,12t, ou seja, 0,12 . t = ln 2, de onde obtemos t = 5,78 anos. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 3a série – Volume 3
LIÇÃO DE CASA Página 45
1. a) Supondo que m(t) = mo . 2bt, ou seja, m(t) = 60 . 2bt, e sabendo que quando t = 4 temos m = 30, resulta: 30 = 60 . 24b, ou seja, 24b = 1 . Em consequência, 4b =
2
...
1
...
...
1
...
=
log 2
. Como log22 = 1, segue que 4b = –1, pois log2
= log21 – log22 =
2
2
= –log22 = –1.
Segue que b = –0,25 e, então, m(t) = 60.2– 0,25t.
b) Supondo m(t) = mo . eat, ou seja, m(t) = 60 . eat, e sabendo que quando
t = 4 temos m = 30, resulta: 30 = 60 . e4a, ou seja, e4a = 1 . Em consequência,
2
...
1
...
4a = ln
. Obtendo o valor de ln 2 em uma calculadora, obtemos ln 2 . 0,6932, de
2
onde segue que 4a = –0,6932, ou seja, a = –0,1733. Assim, a função obtida é m(t) = 60.e– 0,1733t. c) Calculando 2-0,25, usando uma calculadora (ou uma tabela de logaritmos), obtemos 0,8409; calculando e-0,1733, obtemos o mesmo valor, 0,8409, o que significa que (2-0.25)t = (e-0,1733)t, ou seja, as duas expressões para a função m(t) são equivalentes. d) Em qualquer uma das expressões para m(t), substituindo t por 8, obtemos amassa restante após 8 h: m(8) = 60. 2-0,25.8 = 60.2-2 = 15 g. e) Para saber após quanto tempo a massa será reduzida a 12 g, basta determinar o valor de t em qualquer uma das expressões:
...
12
...
12 = 60 . e-0,1733t, ou seja, –0,1733t = ln
, isto é, –0,1733t = –ln 5.
60
Recorrendo a uma calculadora (ou a uma tabela de logaritmos), obtemos ln 5 = 1,6094; segue que t = 9,29 h, ou seja, aproximadamente, 9h17.
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PESQUISA INDIVIDUAL
Página 47
1. Os gráficos de f(x) e de g(x) são simétricos em relação ao eixo y, uma vez que os valores de f(x) quando trocamos x por –x coincidem com os valores de g(x). Os gráficos de m(x) e h(x) também são simétricos em relação ao eixo y. Notamos que, para x = –2, a função m(x) assume o mesmo valor que a função h(x) para x = 2. Naturalmente, o domínio de h(x) é o conjunto dos números reais positivos, enquanto
o domínio de m(x) é o conjunto dos números reais negativos. a) Observando os gráficos e lembrando-se do significado da taxa de variação unitária, notamos que ela é crescente em f(x), o que faz com que o gráfico resulte encurvado para cima; f(x) é crescente a taxas crescentes. b) No gráfico de h(x) = ln x, notamos que a taxa de variação unitária é decrescente, o que faz com que o gráfico seja encurvado para baixo; h(x) é crescente a taxas decrescentes. c) O gráfico de m(x) representa uma função decrescente e notamos que as taxas de variação são crescentes em valor absoluto; m(x) decresce a taxas crescentes. d) O gráfico de g(x) representa uma função decrescente e notamos que as taxas de variação são decrescentes em valor absoluto; g(x) decresce a taxas decrescentes. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 3a série – Volume 3
2.