Matemática Vol 2

GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 3a série – Volume 2
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1
A EQUAÇÃO DE 3º GRAU E O APARECIMENTO NATURAL DOS NÚMEROS COMPLEXOS
VOCÊ APRENDEU? Página 3
1. Questões (a) e (b) 22 bc 2
ax . bx . c . 0(.a) . x . x .. 0 . x . Bx . C . 0,
aa bc
com . Be . C
aa
c)
. B .2 . B . 2 BB2 B2
. y. .. B. y . .. C . 0 . y . 2y .. By .. C . 0 .
. 2 .. 2 . 24 2
22
2 B 2 B
y .. C . y . C .. 0
44
B . 4C
d) Comoy2 = B2 – C, segue que y ..2
42
BB2 . 4CB
e) Como x . y . , segue que x .. . , ou seja,2 22
BB2 . 4C
x .. .
22
bc . b . b2 . 4ac
Substituindo B por e C por , obtemos x .
, que é a fórmula de aa 2a Bhaskara. f) Dividindo os coeficientes por 3, obtemos x2 + 5x + 6 = 0;
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5
Substituindo x por y . , onde o denominador 2 é o grau da equação, obtemos:
2
. 5 .2 . 5 .
. y . .. 5. y . .. 6 . 0. . 2 .. 2 .
Efetuando os cálculos, obtemos y2 = 1 , ou seja, y = . 1.
42 5
Como x = y . , segue que x = – 2 ou x = – 3.
2
2. a) x1 e x2 são obtidos pela fórmula de Bhaskara: . b . b2 . 4ac . bb2 . 4ac
x .
.. .
2a 2a 2a
. bc
Como S .. b ..Sa e P .. c . Pa , temos:
aa
2 22
. (.Sa)(.Sa) . 4a(Pa) Sa aS . 4PS . S . 4P
x ..
..
. .
2a 2a 2a 2a 2
Os números 10 e 40 seriam as raízes da equação x2 – 10x + 40 = 0. Segundo a
S . S 2 . 4P 10 . 102 . 4.40 10 .. 60
fórmula
, teríamos de calcular
; como 2 22 não existe a raiz quadrada de um número negativo em IR, concluímos que não existem dois números reais cuja soma seja 10 e cujo produto seja 40.
.
b) Se existissem dois números reais de soma igual a S e produto igual a P, então eles seriam raízes da equação x2 – Sx + P = 0. Mas, se o quadrado da soma S dos dois números fosse menor que o quádruplo de seu produto P, ou seja, se S2 < 4P, então a equação x2 – Sx + P = 0 teria o discriminante . = S2 – 4P negativo, ou seja, não teria raízes reais. Logo, não existem dois números reais nas condições acima.
3. a) Efetuando a substituição indicada, obtemos: 32 3
( y . 5) .15( y . 5) .11( y . 5) . 7 . 0 . y . 64y . 202 . 0.
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b) Efetuando a substituição indicada, obtemos:
. B .3 . B .2 . B .
. y . .. B. y . .. C. y . .. D . 0 . . 3 .. 3 .. 3 .
23 2
32 B . B . .. B .. 2 B .. B .. . B .
y . 3y . 3y.. ... B.y . 2 y . ... C. y ..D . 0 . 3 . 3 .. 3 .. 3 . 3 .. . 3 .
..
2323 23
32 yB B 22yBB BC 3 By 2B BC
y . yB . .. yB . .. Cy .. D . 0 . y ... Cy . D . 0
327 393 3273
Verificamos que os termos em y2 se cancelam. De modo geral, efetuando-se os
cálculos indicados, é possível mostrar que, na equação xn + A1xn-1 + A2xn-2 + A3xn-3
+ ... + An-1x + An = 0, a substituição de x por y – A1 conduz à eliminação do termo n
n-1
em y.
Leitura e Análise de Texto Página 6
4. a) x2 + 6x – 1 = 0; a = 1, b = 6 e c = –1
. .
.x1 ..3 . 10
x.. 6 . (6)2 . 4.1.(.1) . 6 . 36 . 4 .. 6 . 2 10
..3 . 10 ..
2.1 22 .x ..3 . 10. 2
b)
.3
. p ..3 . 10 .. p . 3 . 3 . 10
.
..
.q3 ..3 . 10 .q .. 3 . 10
.
. 3
c) Comparando a igualdade (p + q)3 – 3pq . (p + q) – (p3 + q3) = 0 com a
equação y3 + M . y + N = 0,
3
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deduzimos que: se – 3pq = M e – (p3 + q3) = N, então y = p + q será raiz da equação. Temos, então, de encontrar dois números p e q tais que:
.M 3.
p3 . q3 = .... e p3 + q3 = –N.
27
..
Tais números p3 e q3, que têm soma e produto conhecidos, devem ser as raízes
M 3
da equação do segundo grau z2 + Nz – = 0.
27 Resolvendo tal equação, obtemos: z = . N . 2 2N . 27 4 3M . . 2 N . 4 2N . 27 3M , isso significa que os valores de p3 e q3 são
23 23
NNM NNM
.. . e .. . ,
2 427 2 427
23 23
NNM NNM
logo, os valores de p e de q serão 3 .. . e 3 .. . . 2 427 2 427
Em consequência, o valor de y = p + q será:
23 23
NNM NNM
y .3 .. .. 3 .. . , como queríamos mostrar. 2 427 2 427
5. Substituindo na fórmula obtida no exercício anterior, temos: 24 .. 27. 24 .. 27.
33
y ... ... .31. 0 . 31. 0 . 2
2427 2427
24 .. 27. 24 .. 27.
33
y ... ... .31. 0 . 31. 0 . 2; logo, y = 2 é
2427 2427
uma raiz. Como será visto nas atividades seguintes, conhecendo-se uma das raízes de uma equação de grau 3, é possível reduzi-la a uma equação de 2o grau, encontrando-se, assim, todas as raízes da equação inicial.
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6. a) O volume do cubo de aresta x é igual a x3 e o volume do paralelepípedo de base 15 m2 e altura x é igual a 15x; segue, então, que a exigência de o volume do cubo ser 4 m3 maior do que o volume do paralelepípedo traduz a equação: x3 = 15x + 4, ou seja, x3 – 15x – 4 = 0. b) Calculando o valor de x pela fórmula obtida anteriormente para equações de 3o grau, obtemos: 3 3 . Pela fórmula, parece não existir x . 2 ..121 . 2 ..121 raiz da equação, uma vez que nos deparamos, nos cálculos, com a raiz quadrada de um número negativo. c) Certamente a equação admite x = 4 como raiz, como se pode verificar diretamente, uma vez que 43 – 15.4 – 4 = 0. No uso da fórmula das raízes, os cálculos foram interrompidos quando surgiu a raiz quadrada de –121. No estudo das equações de 2o grau, era assim que se procedia: ao se deparar com a raiz quadrada de um número negativo, dizia-se: “A equação não tem raízes reais”. Mas aqui sabe-se que a equação de grau 3 proposta tem uma raiz real, que é x = 4. Então, como ficamos?
7. a) De fato, como –121 = 121 . ( –1), para extrair a raiz quadrada de –121, bastaria sabermos quanto vale a raiz quadrada de –1. Se representarmos a raiz quadrada de – 1 por i, esse número imaginário, teríamos: –1 = i2, ou seja, i ..1. Em consequência, Analogamente, seria possível expressar a raiz quadrada de qualquer número negativo: . 9 . 9. .1 . 3.i ; analogamente, . 7 . . 7.i , e assim por diante. Insistimos que, por enquanto, é feito apenas um exercício de imaginação: se existir um número que seja a raiz quadrada de –1, então as raízes quadradas de todos os números negativos poderão ser expressas com base nesse número; chamando tal número imaginário de i, temos, por exemplo,que
i.111.121121 ..... . 25 . 25.(.1) . 25. .1 . 5.i .
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b) Substituindo .121 por 11i na expressão x . 32 ..121 . 32 ..121 , obtemos:
x . 32 .11i . 32 .11i .
c) Ao elevar ao cubo o “número” 2 + i, que é uma “mistura” de uma parte real com uma parte imaginária, verifica-se que, efetuados os cálculos, obtemos (2 + i)3 = 2 + 11i. De fato, temos: (2 + i)3 = 23 + 3 . 22 . i + 3 . 2 . i2 + i3 => (2 + i)3 = 8 + 12 . i + 6 . i2 + i2 . i Como i2 = –1, segue que: (2 + i)3 = 8 + 12i + 6 . ( –1) + (–1) . i, ou seja, (2+ i)3 = 2 + 11i De modo análogo, pode ser mostrado que uma raiz cúbica de 2 – 11i é 2 – i.
d) Substituindo os valores das raízes cúbicas encontradas, temos:
x . 32 .11.i . 32 .11.i , ou seja, x = 2 + i + 2 – i = 4. Assim, reconcilia-se a
fórmula com o fato concreto de que a equação tinha x = 4 como uma de suas raízes. Como se vê, pode ser conveniente atribuir significado às raízes quadradas de números negativos. Será mostrado mais adiante de que modo os novos números assim construídos – os chamados números complexos – são uma extensão natural muito fecunda dos conhecidos números reais.
LIÇÃO DE CASA Página 11
1. .a . 22 2 2 .. b . b . 4ac . (.10) . (.10) . 4.2.12
2x .10x .12 . 0 ..b ..10 . x .
.
.
2a 2.2
.
c .12
. 10 . 2
x .. x . 3 ou x . 2
4
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2. a) por verificação, encontramos x = 2, pois 23 – 2 – 6 = 8 – 8 = 0. b) como a soma dos coeficientes da equação é igual a 0, podemos concluir que x = 1 é uma das raízes. x3 – 2x2 – x + 2 = 0. para x = 1 . 13 – 2 . 12 – 1 + 2 = 0.
VOCÊ APRENDEU? Página 13
1. a) – 2 – i. b) 12 – 3i. c) – 81 + 79i. d) 170. e) – i. f) i. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 3a série – Volume 2
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2 DAS FÓRMULAS À ANÁLISE QUALITATIVA. RELAÇÕES ENTRE COEFICIENTES E RAÍZES

VOCÊ APRENDEU? Página 14
1. a) (x – m) . (x – p) . (x – k) = 0 b) (x – 2) . (x – 3) . (x – 4) = 0 32 32
c) x. (2 . 3 . 4)x . (2.3 . 2.4 . 3.4)x . 2.3.4 . 0 . x . 9x . 26x . 24 . 0
Soma das raízes Produto das raízes d) a b é igual à soma das raízes da equação com sinal trocado, a c é igual à soma dos d
produtos das raízes tomadas duas a duas e é igual ao produto das raízes com o sinal
a
trocado.
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2. a) S . r . r . r ..2 . 3 . 4 . 5, S . r .r . r .r . r .r . (.2).3 . (.2).4 . 3.4 ..2 e1123 2121323
P . (.2).3.4 ..24
b) (x + 2) . (x – 3)(x – 4) = 0 c) 3 2
x . 5x . 2x . 24 . 0
3. S . r . r . r . 2 . 3 . 5 .10, S . r .r . r .r . r .r . 2.3 . 2.5 . 3.5 . 31 e1123 2121323
P . 2.3.5 . 30 Logo, a equação será: 3 2
x .10x . 31x . 30 . 0
LIÇÃO DE CASA Página 17
1. a) S. r . r . r . 3 . 5 .1 . 9, S . r .r . r .r . r .r . 3.5 . 3.1. 5.1 . 23 e
1123 2121323
P . 3.5.1 .15 Logo, a equação será: 3 2
x . 9x . 23x .15 . 0 b) S . r . r . r . 2 . 7 . 3 . 6, S . r .r . r .r . r .r . 2.7 . 2.(.3) . 7.(.3) ..13 e
1123 2 121323
P . 2.7.(.3) ..42 Logo, a equação será: 3 2
x. 6x .13x . 42 . 0 c) S . r . r . r ..2 . 3 . 4 ..1, S . r .r . r .r . r .r . (.2).(.3) . (.2).4 . (.3).4 ..14 e
1123 2 121323
P . (.2).(.3).4 . 24 Logo, a equação será: 3 2
x . x .14x . 24 . 0
2. a) (x – 2) . (x – 3) . (x – 4) . (x – 5) = 0 GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 3a série – Volume 2
b) (x + 2) . (x – 3) . (x – 4) . (x + 5) = 0 c) (x – 1) . (x – 0) . (x – 3) . (x – 7) = 0
VOCÊ APRENDEU? Página 19
1. 432 4 b 3 c 2 de
ax .bx . cx . dx . e . 0 . x . x . x . x .. 0,
aa aa bc
onde : ..(r . r . r . r ), . r .r . r .r . r .r . r .r . r .r . r .r ,
1234 121314232434
aa de
..(r1.r2.r3 . r1.r2.r4 . r1.r3.r4 . r2.r3.r4) e . r1.r2.r3.r4
aa
432
a) x.14x . 71x .154x .120 . 0
43 2
b) x. 0x . 27x .14x .120 . 0
43 2
c) x .11x . 31x . 21x . 0
2. a) Observando os coeficientes, pode-se concluir que 24 é igual ao produto das três raízes. Logo, as possíveis raízes inteiras da equação são os divisores de 24, ou seja, .1, .2, .3, .4, .6, . 8, .12, .24. Naturalmente, dependendo do valor de k, tal equação pode não admitir nenhum desses divisores como raiz; o que se pode afirmar é precisamente o fato de que, se houver raiz inteira, ela terá de ser um dos divisores de 24. b) Como a soma das duas raízes simétricas é 0 e a soma das três raízes é 8, então a terceira raiz deverá ser igual a 8. c) Como o produto das duas raízes inversas é igual a 1 e o produto das três raízes é 24, então a terceira raiz deverá ser igual a 24. d) Não é possível que a equação tenha uma raiz nula, pois, nesse caso, o produto das raízes seria 0, e já vimos que o produto das raízes é igual a 24.
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3. Como 1 é raiz, substituindo x por 1 devemos ter a igualdade verdadeira; logo, 1 + 7 + k – 15 = 0, e então k = 7. Como a soma das três raízes é igual a –7, sendo uma delas igual a 1, a soma das outras duas deve ser igual a – 8. Como o produto das três raízes é igual a 15, sendo uma delas igual a 1, o produto das outras duas é igual a 15. Logo, além da raiz dada r1 = 1, as outras duas raízes da equação são tais que sua soma é –8 e seu produto é 15; elas são, portanto, as raízes da equação de 2o grau x2 + 8x + 15 = 0. Resolvendo tal equação, obtemos r2 = –3 e r3 = –5. Conclui-se que a equação proposta tem como raízes os números reais 1, – 3 e – 5. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 3a série – Volume 2
VOCÊ APRENDEU? SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3 EQUAÇÕES E POLINÔMIOS. DIVISÃO POR X – K E REDUÇÃO DO GRAU DA EQUAÇÃO
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1. a) A(1) = 12 – 3 . 1 + 2 = 0 e B(1) = 13 – 2 . 12 – 3 . 1 + 2 = –2 b) 2 ; aplicando a fórmula de Bhaskara, temos:
A(x) . 0 . x . 3x . 2 . 0 . 3 .1
2 x1 .. 2
3 . (.3) . 4.1.2 3 .1 ...2
x .
. ..
22 3 .1
.
x ..1
.2
. 2
c) O produto das raízes (a, b e c) do polinômio B(x) é –2.
d) Sim. Basta resolver a equação correspondente: x2 – 3x + 2 = x3 – 2x2 – 3x + 2. Efetuando os cálculos, obtemos:
.x2 . 0 . x . 0
32 2
x . 3x . 0 . x (x . 3) . 0 ..
x . 3 . 0 . x . 3
.
e) Não, pois os coeficientes de x3 e x2 são diferentes nos dois polinômios.
2. a) Sim. Basta resolver a equação correspondente: x3 – 3x + 2 = x3 – 2x2 – 3x + 10. Efetuando os cálculos, obtemos 2x2 = 8, e então x = . 2. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 3a série – Volume 2
b) Não, pois os coeficientes de x2 são diferentes nos dois polinômios.
LIÇÃO DE CASA Página 24
1. a) Igualando os coeficientes dos termos de mesmo grau, temos: a = b, c = –11 e
b = .3 = a.
b) Se – 1 é raiz da equação P1(x) = 0, então devemos ter P1(–1) = 0. Logo, substituindo x por –1 e igualando o resultado a 0, obtemos: . 3. (– 1)5 – 11(–1)4 – 2 . ( –1)3 + 7(– 1)2 + 3. (–1) + d = 0.
Concluímos, efetuando os cálculos, que d = 2 – 2 3 .
2. a) Basta substituir x por 1 em P(x) e verificar que o resultado dá 0, ou seja, que temos P(1) = 0. Isso significa que P(x) pode ser fatorado e apresenta x – 1 como um fator, ou seja, é divisível por x – 1. Podemos, então, escrever: P(x) . (x – 1). Q(x).
543 2
P(1) . 3.1 . 2.1 . 5.1 .11.1 . 7.1.12 . 0 b) O quociente da divisão será um polinômio de grau 4, podendo ser escrito na forma geral: ax4 + bx3 + cx2 + dx + e. Devemos ter a identidade: 3x5 – 2x4 + 5x3 – 11x2 – 7x + 12 . (x – 1) . (ax4 + bx3 + cx2 + dx + e). Efetuando as operações indicadas no segundo membro, obtemos:
3x5 – 2x4 + 5x3 – 11x2 – 7x + 12 . ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex – ax4 – bx3 – cx2 – dx – e Agrupando os termos semelhantes do segundo membro, obtemos:
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Igualando os coeficientes dos termos de mesmo grau nos dois membros da identidade, temos: 3 = a, –2 = b – a, 5 = c – b, –11 = d – c, –7 = e – d, 12 = –e.
Logo, concluímos que a = 3, b = 1, c = 6, d = –5, e = –12 e então o quociente será: Q(x) = 3x4 + x3 + 6x2 – 5x – 12. Assim, para resolver a equação P(x) = 0, sabendo que uma de suas raízes é x = 1, obtemos o quociente de P(x) por x – 1, chegando ao quociente Q(x); as demais raízes de P(x) = 0 são as raízes da equação Q(x) = 0
VOCÊ APRENDEU? Página 26
1. a) Basta substituir x por 2 em P(x) e verificar que o resultado dá 0, ou seja, que temos P(2) = 0. Isso significa que P(x) pode ser fatorado e apresenta x – 2 como um fator, ou seja, é divisível por x – 2. Podemos, então, escrever: P(x) . (x – 2) . Q(x).
543 2
P(1) . 3.2 . 2.2 . 5.2 .11.2 . 7.2 . 46 . 0 b) O quociente da divisão será um polinômio de grau 4. Em sua forma geral,
podemos escrever que Q(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e. Para determinar Q(x), temos a identidade: 3x5 – 2x4 + 5x3 – 11x2 – 7x – 46 . (x – 2) . (ax4 + bx3 + cx2 + dx + e). Efetuando as operações indicadas no segundo membro, obtemos: 3x5 – 2x4 + 5x3 – 11x2 – 7x – 46 . ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex – 2ax4 – 2bx3 – 2cx2 –
2dx – 2e. Agrupando os termos semelhantes do segundo membro, obtemos:

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Igualando os coeficientes dos termos de mesmo grau nos dois membros da identidade, temos: 3 = a, –2 = b –2a, 5 = c – 2b, –11 = d – 2c, –7 = e – 2d, –46 = –2e. Logo, concluímos que: a = 3, b = 4, c = 13, d = 15, e = 23 e então o quociente será: Q(x) = 3x4 + 4x3 +13x2 +15x + 23. Em consequência, para resolver a equação P(x) = 0, sabendo que uma de suas raízes é x = 2, obtemos o quociente de P(x) por x – 2 e obtemos o quociente Q(x); as demais raízes de P(x) = 0 são as raízes da equação Q(x) = 0.
Leitura e Análise de Texto
Página 27
Q(x) = x4 + x3 - 4x2 - 9x - 19.
2. a) Quando P(x) é divisível por x – k, escrevemos P(x) . (x – k) . Q(x), e segue que P(k) = 0. Quando P(x) não é divisível por x – k, então temos a identidade: P(x) . (x – k) . Q(x) + R, onde a constante R é o resto da divisão. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 3a série – Volume 2
Segue daí que P(k) = R, ou seja, o resto da divisão de P(x) por x – k é igual a P(k). b) O resto será o valor de P(–3), ou seja, R = P(–3) = –708 + .. O cálculo do resto também poderia ser feito por meio do algoritmo de Briot-Ruffini, utilizado na Leitura e análise de texto. Basta proceder como indicado, notando que ao último coeficiente do polinômio corresponderá, em vez do resto 0,
o valor do resto procurado: coeficientes de P(x) 3 1 3 0 –7 p3 –8 27 –81 236 –708 + .coeficientes de Q(x) resto da divisão raiz –3 3 . (–3) –8 . (–3) 27 . (–3) –81 . (–3) 236 . (–3) 3. a) Dividindo os coeficientes por 2, obtemos a equação equivalente
49 11
x – x3 + 3x2 + x – 3 = 0.
22
Escrita dessa forma, já vimos que as possíveis raízes inteiras serão os divisores de – 3, pois esse coeficiente representa o produto das raízes da equação. Calculando os valores numéricos do polinômio do primeiro membro da equação para x = ±1 e x = ±3, conclui-se que –1 e 3 são raízes da equação dada. b) A equação dada é, portanto, equivalente à equação: (x + 1) . (x – 3) . (mx2 + nx +p) = 0. Para encontrar o trinômio mx2 + nx + p e descobrir a quarta raiz da equação, basta dividir o polinômio do primeiro membro sucessivamente por (x + 1) e (x – 3), conforme indicado abaixo:
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2x4 – 9x3 + 6x2 + 11x – 6 = (x + 1) . (ax3 + bx2 + cx + d).
coeficientes de P(x) 2– 96 11 – 6
raiz –1 2 . (–1) –11 . (–1) 17 . (–1) –6 . (–1)
2 –11 17 –6 0 2x4 – 9x3 + 6x2 + 11x – 6 = (x + 1) . (2x3 – 11x2 + 17x – 6). Dividindo-se Q1(x) por (x – 3), obtemos Q2(x):
coeficientes de Q2(x) 2 – 11
17 – 6
raiz
(2x3 – 11x2 + 17x – 6) = (x – 3) . (2x2 – 5x + 2) Conclui-se, então, que: 2x4 – 9x3 + 6x2 + 11x – 6 = (x + 1) . (x – 3) . (2x2 – 5x + 2).
1
Resolvendo a equação de 2o grau 2x2 – 5x + 2 = 0, obtemos r3 = 2 e r4 =
2 Logo, as raízes da equação dada inicialmente são: 1
r1 = –1, r2 = 3, r3 = 2, e r4 = .
2
3 2 . 3 –5 . 3 2 . 3 2 – 5 2 0
coeficientes de Q2(x) resto da divisão
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VOCÊ APRENDEU? SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4
NÚMEROS COMPLEXOS: REPRESENTAÇÃO NO PLANO E SIGNIFICADO DAS OPERAÇÕES (TRANSLAÇÕES, ROTAÇÕES, AMPLIAÇÕES)
Página 33
1. a) 3 + 4i + 7 = 10 + 4i b) 3 + 4i + 7i = 3 + 11i c) 3 + 4i + 3 – 4i = 6 d) 3 + 4i – (3 – 4i) = 3 + 4i – 3 + 4i = 8i e) (3 + 4i) . 7 = 21 + 28i f) (3 + 4i) . 7i = 21i + 28i2 = –28 + 21i g) 7i . (3 – 4i) = 21i – 28i2 = 28 + 21i h) [(3 + 4i) . (3 – 4i)]2 = (32 – 42i2)2 = (9 + 16)2 = 625 i) (3 + 4i + 3 – 4i)3 = 63 = 216 j) [3 + 4i – (3 – 4i)]3 = (3 + 4i – 3 + 4i)3 = (8i)3 = 83 . i3 = 512 . i2.i = –512i k) [7i – (3 + 4i) + 3 – 4i]3 = (7i – 3 – 4i + 3 – 4i)3 = (–i)3 = (–1)3 . (i . i2) = i l) (–7 + 3 + 4i + 3 – 4i)15 = (–1)15 = –1
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2. Os módulos de z1, z2, z3 e z4 são todos iguais a 32 . 32 . 3 2
O argumento . é o ângulo formado pela reta Oz e o eixo
real; sua tangente vale y , ou
x seja, 1; no caso de z1, tal ângulo é 45o.
No caso de z2, o ângulo . correspondente é 135º, uma vez que temos y positivo e x negativo.
3. a) .tg . a b . 1 1 1. . . . 450
O segmento que une o ponto (a, b) à origem, pelo Teorema de Pitágoras, é igual a
2 . b)
tg.. b . 3 ..1 . .. 1350
a . 3 O segmento que une o ponto (a, b) à origem, pelo Teorema de Pitágoras, é igual a
23 . c)
b 3 33
tg.. .
.
. 3 . .. 600
a 33 O segmento que une o ponto (a, b) à origem, pelo Teorema de Pitágoras, é igual a
32 . 19
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d) tg. . 3 3 . . . 3 3 . . . 2100 O segmento que une o ponto (a, b) à origem, pelo Teorema de Pitágoras, é igual a 2 3 . 4. 1z . 3 4 2(cos . )4 .isen. 2z . 3 4 32(cos . 4 3.isen. ) 3z . 3 4 52(cos . 4 5.isen. ) 4z 3. 4 72(cos . 4 7.isen. ) 5. z . 4 2(cos . )4 .isen. z . 3 4 32(cos . 4 3.isen. ) z . 2 3 3(cos . )3 .isen. z . 2 6 73(cos . 6 7.isen. ) 6. a) 1z. 2x . 2y . 02 . 32 . 3 e . . 2 . . 1z . . .. 23 cos . . 2 .isen . . .

22 22
b) z2. x . y . 3 . 0 . 3 e .. 0 . z2 . 3.cos0 . isen0.
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22 22
c) z3. x . y . (.2) . 0 . 2 e ... . z3 . 2(cos.. isen. )
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2222 3.. 3. 3..
d) z4. x . y . 0 . (.2) . 2 e .. . z . 2.cos . isen .
24 . 22 .

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LIÇÃO DE CASA Página 41
1. a)
. 1
cos..
.
.2 . .. ..
... . z1 . 2.cos . isen .
z1. 12 . ( 3)2 . 1. 3 . 2 e .
33 . 33 .
.
sen..
.
. 2
..b)
. 1
cos. ..
.
.22.. 2. 2..
z2. (.1)2 . ( 3)2 . 1. 3 . 2 e .

... . z2 . 2.cos . isen .
33 . 33 .
.
sen..
.
. 2
23
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..c)
. 3
.cos...
.5.. 5. 5..
2
z3. (. 3)2 .12 . 3 .1 . 2 e . ... . z3 . 2.cos . isen .
16 . 66 .
.
sen..
.
. 2
..24
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d)
. 3
.cos..
.11.. 11. 11..
2
z4. ( 3)2 . (.1)2 . 3 .1 . 2 e . ... . z4 . 2.cos . isen .
16 . 66 .
.
sen...
.
. 2
..2. a) ... 450 00 .. 22 .
. .. z . 8.cos 45 . isen45 .. 8 . i .. . 42 . i42 ..
.a . 42
.
. z . 8 . 22 ..b . 42
.
b)
.. . 1200 00 . 13 .
.a ..2
.. z . 4.cos120 . isen120 .. 4.. . i ... .2 . i 23 ..
.
. z . 4 . 22 ..b . 23
25
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c) ... 1500 00 . 31 .
.a ..33
.. z . 6.cos150 . isen150 .. 6.. . i ...33 . i 3 ..
.
. z . 6 . 22 ..b . 3
d) .. . 2400 00 . 13 .
.a ..1
.. z . 2.cos 240 . isen240 .. 2.. . i .. . .1 . i 3 ..
.
. z . 2 . 22 ..b .. 3
VOCÊ APRENDEU? Página 45
1. 00
a) z .8.cos 45 . isen 450 . b) z .4.cos 120 . isen 1200 .
00
c) z .6.cos 150 . isen 1500 . d) z . 2.cos 240 . isen 2400 .
2. Questões (a) e (b) quando somamos o real 9 ao complexo z = 5 + 12i, obtemos como resultado o complexo z’ = 14 + 12i; nota-se, então, que a imagem de z resulta deslocada na direção do eixo real 9 unidades no sentido positivo e, quando somamos o imaginário 6i ao complexo z = 5 + 12i, obtemos como resultado o complexo z’’ = 5 + 18i; nota-se, então, que a imagem de z resulta deslocada 6 unidades na direção do eixo imaginário, no sentido positivo (ver figura). GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 3a série – Volume 2
Questões (c) e (d) Analogamente, a imagem do complexo z’ = z – 9 é a de z deslocada no sentido negativo do eixo real 9 unidades; a imagem do complexo z’’ = z – 6i é a de z deslocada no sentido do eixo imaginário 6 unidades para baixo (ver figura).
e) Quando somamos o complexo z ao complexo 9 – 6i, a imagem de z resulta deslocada sucessivamente (em qualquer ordem) para a direita 9 unidades e para baixo 6 unidades (ver figura).
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3. Questões (a) e (b) Sendo z = 5 + 12i, o número complexo 2z será igual a 10 + 24i, ou seja, tem valor absoluto igual ao dobro do de z, mas tem o mesmo argumento de z. Analogamente, o complexo z será igual a 5 , ou seja, tem valor absoluto . 6i
22 igual à metade do de z, mas o mesmo argumento de z (ver figura).

4. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 3a série – Volume 2
a) Cada ponto da região será deslocado na direção do eixo real 5 unidades; a região transformada será um triângulo de vértices nas imagens dos complexos: 7 + 2i, 11 + 2i e 11 + 6i.
0 2 6 2 6 7 11 eixo Imaginário eixo Real
b) Cada ponto da região será deslocado na direção do eixo imaginário 3 unidades; a região transformada será um triângulo de vértices nas imagens dos complexos: 2 + 5i, 6 + 5i e 6 + 9i.
eixo Imaginário
2 6 2 6 5 9 eixo Real c) Cada ponto da região será deslocado na direção do eixo real 3 unidades, seguido de outro na direção do eixo imaginário em 4 unidades. Cada ponto terá um deslocamento total de valor igual ao módulo do complexo 3 + 4i, que é 5. Os vértices da região transformada serão os seguintes: 5 + 6i, 9 + 6i e 9 + 10i.
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eixo Imaginário
5 eixo Real 2 6 2 6 9 10 d) Cada ponto da região terá seu módulo multiplicado por 2; logo, a região será ampliada, tendo cada segmento multiplicado por 2 e sua área multiplicada por 4. Como as distâncias de cada ponto até a origem serão multiplicadas por 2, haverá uma translação (afastamento da origem) juntamente com a ampliação. Os novos vértices serão: 4 + 4i, 12 + 4i e 12 + 12i. Os argumentos dos pontos da região não serão alterados, ou seja, não haverá rotação.
12
126 2 6 4 4 eixo Real 2 eixo Imaginário GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 3a série – Volume 2
1
e) Cada ponto da região terá seu módulo multiplicado por ; logo, a região será
2 1
reduzida, tendo cada segmento multiplicado por e sua área dividida por 4. Como
2 as distâncias de cada ponto até a origem serão reduzidas à metade, haverá uma translação (aproximação da origem) juntamente com a redução. Os novos vértices serão: 1 + i, 3 + i e 3 + 3i. Os argumentos dos pontos da região não serão alterados, ou seja, não haverá rotação.
eixo Real 1 2 3 6 6 3 eixo Imaginário 5. Queremos multiplicar cada ponto da região indicada pelo imaginário i. Vamos examinar o efeito de tal multiplicação em cada ponto ao multiplicar um número complexo z = x + yi por i, e obtém-se: z . i = xi + yi2, ou seja, z.i = – y + xi. Inicialmente, nota-se que os módulos de z e zi são iguais. Além disso, verifica-se .
que, se o argumento de z é . e o de zi é .’, então .’ + .. ...... , ou seja, .’ -. =
. 2 . .
(ver figura).
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.
Isso significa que os argumentos de z e de zi diferem de 90º ( radianos), ou seja,
2
.
zi tem argumento igual a . + . De maneira geral, ao multiplicar um número
2 complexo z por i, seu módulo permanece o mesmo, mas seu argumento aumenta de
.
.
2 Em decorrência, ao multiplicar por i todos os pontos da região indicada, ela manterá seu tamanho, mas sofrerá uma rotação de 90º, conforme mostra a figura:
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6. a) Já foi visto que, ao somar um complexo com um número real, a imagem do complexo resulta deslocada horizontalmente na direção do eixo real; no caso, a região triangular será deslocada para a direita 9 unidades. b) A região triangular será deslocada para cima 9 unidades. c) A região triangular será deslocada para a direita 9 unidades e depois para cima 9 unidades, ou, equivalentemente, para cima 9 unidades e depois para a direita 9 unidades. As figuras abaixo traduzem as transformações ocorridas em a, b e c.
eixo Imaginário 17
11 8
2
2 5 8 14 17
11 eixo Real
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d) A região será ampliada, cada complexo z tendo seu valor absoluto multiplicado por 2. Não sofrerá rotação e sua área ficará multiplicada por 4.
eixo Real 2 2 8 5 8 4 10 16 16 4 eixo Imaginário e) A região será ampliada de um fator 2, tendo sua área quadruplicada; também sofrerá uma rotação de 90º, correspondente à multiplicação por i.
2 2 8 5 8 16 4 10 eixo Real 4 10 16 eixo Imaginário -4-16